تصاعد
لغت‌نامه دهخدا
تصاعد. [ ت َ ع ُ ] (ع مص )دشوار شدن . (منتهی الارب ) (آنندراج ) (ناظم الاطباء). || ببالا برشدن . (ترجمان جرجانی ترتیب عادل بن علی ) (از اقرب الموارد). بالا برآمدن بر جای بلند.(غیاث اللغات ) (آنندراج ). || (اِ مص ) بالاروی و بالارفتگی و صعود. (ناظم الاطباء). || (اصطلاح ریاضی ) تصاعد در علم ریاضی بر دو قسم است :
الف - تصاعد حسابی : هرگاه سلسله ای از اعداد پیاپی یکدیگر نوشته شده باشد هر یک ازآنها مساوی باشد با عدد ماقبل با اضافه یک مقدار ثابت گویند که این اعداد یک «تصاعد حسابی » را تشکیل میدهند و در این صورت مقدار ثابت مزبور را قدر نسبت تصاعد حسابی و هر یک از اعداد مزبور را یک جمله از تصاعد حسابی مینامند.
مثال اول : در سلسله ٔ اعداد
هر عدد مساوی است با جمله ٔ سمت راست خود به اضافه ٔ عدد ثابت «4»(قدر نسبت ).
مثال دوم : در سلسله ٔ اعداد
هر جمله برابر است با جمله ٔ سمت راست خود به اضافه ٔ عدد ثابت «6-». پس قدر نسبت این تصاعد «6-» میباشد.
هر جمله برابر است با جمله ٔ سمت راست خود به اضافه ٔ مقدار ثابت 3X (قدر نسبت تصاعد). هرگاه در یک تصاعد حسابی قدر نسبت عددی مثبت باشد آن تصاعد را «صعودی » گویند و هر گاه قدر نسبت تصاعد عدد منفی باشدتصاعد مزبور را «نزولی » می نامند.
ب - تصاعد هندسی : هرگاه سلسله ای از اعداد پیاپی یکدیگر نوشته شده باشند بطوری که هر یک از این اعداد مساوی باشد با عدد مابعد خود ضرب در یک عدد ثابت ، گویند این اعداد یک «تصاعد هندسی » را تشکیل داده اند و دراین صورت مقدار ثابت مزبور را «قدر نسبت » تصاعد هندسی ، و هر یک از اعداد مزبور را یک جمله از تصاعد می نامند.
مثال اول : در سلسله ٔ اعداد
هر عددی مساوی است با عدد سمت راست خود ضرب در عدد ثابت «3» (قدر نسبت تصاعد هندسی مفروض ).
مثال دوم : در سلسله ٔ اعداد
هر جمله مساوی است با حاصل ضرب جمله ٔ سمت راست خود در عدد ثابت
جمله های هر تصاعد را میتوان از راست و چپ هر قدر که بخواهند ادامه دهند. لیکن هرگاه جمله های تصاعدرا از راست و چپ محدود کنند، تصاعدی بدست می آید که دارای یک جمله ٔ اول و یک جمله ٔ آخر می باشد و چنین تصاعدی را محدود می نامند. غالباً قدر نسبت تصاعد هندسی را با علامت «r» و در تصاعد هندسی محدود، جمله ٔ اول را «a» و آخر را «I» و عده ٔ جمله ها را با علامت «n» نمایش میدهند. محاسبه ٔ جمله ٔ nام تصاعد هندسی محدود اگر جمله ٔ اول a باشد جمله ٔ دوم ar و جمله ٔ سوم ar2 و جمله ٔ دهم ar9 است و بهمین ترتیب معلوم میشود که جمله nام عبارت است از «1-n ar=I». و رجوع به کتاب متمم حساب تألیف قربانی و صفاری شود.
الف - تصاعد حسابی : هرگاه سلسله ای از اعداد پیاپی یکدیگر نوشته شده باشد هر یک ازآنها مساوی باشد با عدد ماقبل با اضافه یک مقدار ثابت گویند که این اعداد یک «تصاعد حسابی » را تشکیل میدهند و در این صورت مقدار ثابت مزبور را قدر نسبت تصاعد حسابی و هر یک از اعداد مزبور را یک جمله از تصاعد حسابی مینامند.
مثال اول : در سلسله ٔ اعداد
...و 15 و 11 و 7 و 3
هر عدد مساوی است با جمله ٔ سمت راست خود به اضافه ٔ عدد ثابت «4»(قدر نسبت ).
مثال دوم : در سلسله ٔ اعداد
... و 10- و 4- و 2و 8
هر جمله برابر است با جمله ٔ سمت راست خود به اضافه ٔ عدد ثابت «6-». پس قدر نسبت این تصاعد «6-» میباشد.
... و 8X + 3aو 5X + 3a و 2X + 3a
هر جمله برابر است با جمله ٔ سمت راست خود به اضافه ٔ مقدار ثابت 3X (قدر نسبت تصاعد). هرگاه در یک تصاعد حسابی قدر نسبت عددی مثبت باشد آن تصاعد را «صعودی » گویند و هر گاه قدر نسبت تصاعد عدد منفی باشدتصاعد مزبور را «نزولی » می نامند.
ب - تصاعد هندسی : هرگاه سلسله ای از اعداد پیاپی یکدیگر نوشته شده باشند بطوری که هر یک از این اعداد مساوی باشد با عدد مابعد خود ضرب در یک عدد ثابت ، گویند این اعداد یک «تصاعد هندسی » را تشکیل داده اند و دراین صورت مقدار ثابت مزبور را «قدر نسبت » تصاعد هندسی ، و هر یک از اعداد مزبور را یک جمله از تصاعد می نامند.
مثال اول : در سلسله ٔ اعداد
.... و 108 و 36 و 12 و 4
هر عددی مساوی است با عدد سمت راست خود ضرب در عدد ثابت «3» (قدر نسبت تصاعد هندسی مفروض ).
مثال دوم : در سلسله ٔ اعداد
...23 5 و 8- و 12 و 18- و 27
هر جمله مساوی است با حاصل ضرب جمله ٔ سمت راست خود در عدد ثابت
23 - (قدر نسبت تصاعد هندسی ).
جمله های هر تصاعد را میتوان از راست و چپ هر قدر که بخواهند ادامه دهند. لیکن هرگاه جمله های تصاعدرا از راست و چپ محدود کنند، تصاعدی بدست می آید که دارای یک جمله ٔ اول و یک جمله ٔ آخر می باشد و چنین تصاعدی را محدود می نامند. غالباً قدر نسبت تصاعد هندسی را با علامت «r» و در تصاعد هندسی محدود، جمله ٔ اول را «a» و آخر را «I» و عده ٔ جمله ها را با علامت «n» نمایش میدهند. محاسبه ٔ جمله ٔ nام تصاعد هندسی محدود اگر جمله ٔ اول a باشد جمله ٔ دوم ar و جمله ٔ سوم ar2 و جمله ٔ دهم ar9 است و بهمین ترتیب معلوم میشود که جمله nام عبارت است از «1-n ar=I». و رجوع به کتاب متمم حساب تألیف قربانی و صفاری شود.
