خطائین
لغت‌نامه دهخدا
خطائین . [ خ َ ءَ ] (ع اِ) نام قاعده ای است در علم حساب برای استخراج مجهولات : در کتاب بحر الجواهر فی علم الدفاتر این قاعده چنین شرح داده شده است : بدانکه طریق بسیار در استخراج می باشد... و اسهل و اصلح بحال اغلب ناس خطائین می باشد و طریقه ٔ آن ، آنکه مجهول را آنچه خواهند فرض نموده و بحسب سؤال به آن عمل کرده ؛ اگر مطابق با سؤال باشد، نعم الاتفاق والا یا خطا ناقص است یا زاید، پس باید چیز دیگری فرض نمود. در آن بدستور سابق معمول دارند؛ اگر خطا باشدبزیاده یا نقصان باشد، پس مفروض اول را در خطای ثانی ضرب نموده و آنرا محفوظ اول نامند و مفروض ثانی رادر خطای اول و آنرا محفوظ ثانی نامند، پس از این باید ملاحظه نمود که اگر خطا هر دو مطابق یکدیگر می باشند به این معنی که هر دو زاید یا ناقص است باید فضل بین المحفوظین را بر فضل بین الخطائین قسمت نمود، خارج قسمت مجهول است و اگر خطائین مختلفه میباشد، باید مجموع محفوظین را بر مجموع خطائین قسمت نمود، خارج قسمت مجهول می باشد. برای فهم قاعده ٔ فوق دو مسأله زیر را می آوریم . مسأله : چند نفر ببازار رفتند. یکی یک متر پارچه خرید، دیگری دو متر و سومی سه متر و الی آخر. پس از آنکه آنها از بازار خارج شدند و پارچه های خود را جمع و بطور مساوی بین خود تقسیم نمودند، بهر یک شش متر پارچه رسید معلوم کنید عده ٔ آنها را. حل :
فرض می کنیم عده ٔ آنها 7 نفر باشد، در این صورت 7 نفر 28 متر پارچه خریده اند زیرا:
و چون 28 متر را بر هفت تقسیم کنیم ، بهر یک 4 متر می رسد که دو متر از سهم واقعی آنها کمتر است (زیرا سهمی واقعی 6 متر بوده است ). این عدد 2 را خطای اول می گویند.حال فرض دیگر می کنیم و عده ٔ آنها را 9 نفر می گیریم در این صورت 9 نفر 45 متر پارچه خریده اند، زیرا:
و چون 45 را به 9 تقسیم کنیم ، بهر یک 5 متر می رسد که یک متر از سهم واقعی آنها کمتر است این یک را خطای دوم می نامند. حال خطای اول (یعنی 2) را در 9 ضرب می کنیم ، میشود: 18(محفوظ اول ) و خطای دوم (یعنی یک ) را در 7 ضرب می کنیم میشود: 7 (محفوظ دوم ) چون 7 را از 18 کم کنیم و بر تفاضل دو خطا، یعنی یک تقسیم کنیم ، جواب یازده میشود که تعداد خریداران است . مسأله دوم : دو برادر بطریقی ارث بردند که اگر بسهم یکی چهارصد تومان اضافه میشد، حاصل چهار برابر سهم دیگری می گشت و چنانکه بسهم دیگری چهارصد تومان اضافه می گردید، حاصل سه برابر سهم اول میشد.
حل :
فرض می کنیم سهم اولی 200 باشد لذا سهم دومی :
چون 550 را از 600 که سه برابر سهم اولی است ، کم کنیم حاصل 50 میشود که خطای اول است .
و چنانکه سهم اولی را 160 فرض کنیم ،
سهم دومی 140=4:560=400+160
چون 540 را از480 که سه برابر سهم اولی است ، کم کنیم حاصل 60 میشود که خطای دوم است . حال 60 را در 200 ضرب می کنیم ، نتیجه 12000 میشود که محفوظ اول و بعد 50 را در 160 ضرب می کنیم ، 8000 میشود که محفوظ دوم است ؛ چون این دورا یعنی 8000 +12000 را با هم جمع کنیم حاصل 20000 میشود و از حاصل تقسیم 20000 بر 110 (مجموع دو خطا) سهم اول-ی 200011 بدست می آید و اگر این سهم را با 400 جمع کنیم و بر 4 تقسیم کنیم ، سهم دومی چنین بدست می آید.
فرض می کنیم عده ٔ آنها 7 نفر باشد، در این صورت 7 نفر 28 متر پارچه خریده اند زیرا:
28=7+6+5+4+3+2+1
و چون 28 متر را بر هفت تقسیم کنیم ، بهر یک 4 متر می رسد که دو متر از سهم واقعی آنها کمتر است (زیرا سهمی واقعی 6 متر بوده است ). این عدد 2 را خطای اول می گویند.حال فرض دیگر می کنیم و عده ٔ آنها را 9 نفر می گیریم در این صورت 9 نفر 45 متر پارچه خریده اند، زیرا:
45=9+8+7+6+5+4+3+2+1
و چون 45 را به 9 تقسیم کنیم ، بهر یک 5 متر می رسد که یک متر از سهم واقعی آنها کمتر است این یک را خطای دوم می نامند. حال خطای اول (یعنی 2) را در 9 ضرب می کنیم ، میشود: 18(محفوظ اول ) و خطای دوم (یعنی یک ) را در 7 ضرب می کنیم میشود: 7 (محفوظ دوم ) چون 7 را از 18 کم کنیم و بر تفاضل دو خطا، یعنی یک تقسیم کنیم ، جواب یازده میشود که تعداد خریداران است . مسأله دوم : دو برادر بطریقی ارث بردند که اگر بسهم یکی چهارصد تومان اضافه میشد، حاصل چهار برابر سهم دیگری می گشت و چنانکه بسهم دیگری چهارصد تومان اضافه می گردید، حاصل سه برابر سهم اول میشد.
حل :
فرض می کنیم سهم اولی 200 باشد لذا سهم دومی :
سهم دومی 150=4:600=400+200
550=400+150
چون 550 را از 600 که سه برابر سهم اولی است ، کم کنیم حاصل 50 میشود که خطای اول است .
و چنانکه سهم اولی را 160 فرض کنیم ،
سهم دومی 140=4:560=400+160
540=400+140
چون 540 را از480 که سه برابر سهم اولی است ، کم کنیم حاصل 60 میشود که خطای دوم است . حال 60 را در 200 ضرب می کنیم ، نتیجه 12000 میشود که محفوظ اول و بعد 50 را در 160 ضرب می کنیم ، 8000 میشود که محفوظ دوم است ؛ چون این دورا یعنی 8000 +12000 را با هم جمع کنیم حاصل 20000 میشود و از حاصل تقسیم 20000 بر 110 (مجموع دو خطا) سهم اول-ی 200011 بدست می آید و اگر این سهم را با 400 جمع کنیم و بر 4 تقسیم کنیم ، سهم دومی چنین بدست می آید.
160011 = 4 : 640011 = 400 + 200011
